卢睿

清华大学人工智能博士、数学科普博主、企鹅科普视频大赛创作者

什么是数学

一席少年·腾讯SSV「未来科学家」论坛

2026.03.28 北京

大家好，我叫卢睿。今天给大家讲的题目，叫作什么是数学。

我是一个标准的小镇做题家，我人生的前18年都在为高考努力。这是我一模考得非常差，就在墙上贴了一个“知耻后进”，然后把我的卷子都放在上面。

2016年，我如愿考上了清华大学，而且进入了“姚班”。这是我当时意气风发的样子，那时候我还很瘦。

现在我是一名人工智能领域的博士生，但是其实我更为人熟知的身份是自媒体博主，我做的账号叫“漫士沉思录”。

我做自媒体博主这件事情，我自己的家人、导师都不是很理解，大家觉得：你是一个学生，就应该好好学习，你是个研究生，就应该好好做科研，为什么去做一个自媒体的科普博主呢？这就是我今天想要跟大家分享的故事。

在我看来，很多人都对数学有很大的误解。我觉得数学是这个世界上最美妙的学科之一，但是我知道，很多人觉得，数学（math）的全称应该叫mental abuse to humans，人类精神虐待。

这也不怪大家，大家想想看，我们从小到大接触的数学都是什么样子的。先练加减法，然后是小数的加减法、分数的加减法，再往后就会接触到指数与对数的运算，接下来还有根式化简、解方程、解方程组，算数列、算三角函数、算解析几何、算立体几何、算导数……

你们有没有发现，很多时候，我们数学就在讲两个字——计算，来来回回地算，反反复复地算。同样的乘法有那么多种方式，让你换汤不换药地算。

所以很多人数学学得非常痛苦，一辈子都不想再看数学，但是我想告诉大家，数学其实不是这个样子的。作为一个有幸见过真正的数学的人，我想让大家知道，真正的数学，它可能是什么样子的。

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取胜诀窍

大家先来看这样一个问题：想象一下，有两个人玩一个游戏，这个游戏很简单，一共有50个糖果，双方轮流拿，每次每个人可以拿1个、2个或者3个，不能不拿。

A先拿，B后拿，谁拿走最后一个谁就赢。这个游戏应该是谁赢呢？

有人觉得是A，有人觉得是B。好的，我先告诉大家，这个问题的结果是，A一定会赢。

有人不服，那我告诉你，如果我是A，我会怎么拿。我们可以把这些糖果4个4个分成一组。

整堆糖果就分成了12组，还多出来2个。

如果我是A，我先把多出来的这2个拿走，剩下就是一堆4个4个的，然后你拿走1个，我就拿走3个，你拿走2个我就拿走2个，你拿走3个我就拿走1个，直到最后一组，我一定赢。

你可以跟自己的家里人玩玩这个游戏，而且你要知道，这个方法是通用的，任何时候，你都可以把这堆糖果分成这样4个一组的，最后剩下来的这几个，你第一次全部拿走。如果说剩下来的刚好是4个，那后手就一定能赢，否则先手就一定能赢。

但是，为什么是4呢？4这个数字，就像从天上掉下来的一样，很神奇，我怎么就知道要4个4个分成一组，不是5个分成一组、6个分成一组呢？这就是我想要告诉你们的，在真正的数学里，你应该怎样去系统性地分析一个问题。

你可以从少的时候开始看起，比如只有3个糖果，那先手一定能赢，直接全部拿走。无论1个、2个、3个，先手一次拿走就能赢。到了4就有意思了，如果是4个糖果，无论先手的人拿1个、2个还是3个，都一定拿不完，但是剩下来的，后手能一次拿完，所以以4个为一组，先拿的人一定会输。

那如果是5个糖果的话，既然知道4个糖果时先手一定会输，那么5个糖果时先拿的人就只拿1个，剩下4个留给后手，后手就一定输了。所以5个糖果时，先拿的人一定能赢。同理，当有6个糖果时，既然4个糖果的先手一定会输，那只要先拿2个，再把4个留给对方，就一定能赢了。

在这个过程当中，我们要总结规律，就是看看这些情况里，哪种是一定会输的。你会发现，当糖果数是4的倍数时，后手是一定能赢的，而当糖果数不是4的倍数时，先手一定能赢。我们以4的倍数作为一个关键点，每次把4的倍数留给对方，对方就一定会输。只有分析到这里，你才算知其然，而且知其所以然，这就是像游戏一样有趣的数学。

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哥尼斯堡七桥问题

我再给大家说一个游戏，这个游戏有300年的历史。这里有一个小镇，叫哥尼斯堡，有一条河流穿过其中，河上有七座桥。

常在这里生活的人就在想，能不能每个桥只过一次，把这7个桥全部都走完。有人说能，有人说不能。

面对这个问题，怎么办呢，我们可以来试一下。这样不行。

再试一次，还是不行。

再试一下，还是剩了一座桥。

其实当时很多当地的居民就已经发现了，怎么都没有办法刚好一次把这些桥走完，但是大家不知道为什么。

你有没有发现，这个问题跟大家平时在课上和考试的时候看到的数学是不一样的。课堂上学习的数学有一套明确的流程告诉你，该怎么样一步一步地计算，最后算到想要的那个结果。

但是在这个问题里，只有一个问题，没有人告诉你这个问题的答案是什么，也没有人告诉你，应该怎么去得到这个问题的答案。要靠你自己去分析这个问题，并告诉别人，解答这个问题的方法是什么。这才是数学。

有一个叫欧拉的人，他分析这个问题的第一步和一般人很不一样。一般人看到这个问题就会试，但欧拉先注意到一件事情，那就是在这个问题里，其实C这条岸上具体的点都不重要，整个C岸可以看成一个点，因为你现在只在意过桥，你在C的任何一个位置，都不影响你过桥。所以，这个问题本质上只需要关心这4个需要靠过桥才能到的岸边和岛屿彼此之间由桥连接的关系。

如此，我们就可以把所有的桥都变成连接点与点之间的边。于是，欧拉就把那些漂亮的岛屿、精美的桥和地上所有的街道全部抛开不看，只看点和边。这就是数学里一个非常重要的步骤，叫作抽象。

数学是一个极其抽象的学科。现在在这个问题里，我们就只关心一件事：你每次可以从一个点，沿着边走到另一个点，该怎么样才能把每个边都刚好只走一次？欧拉发现，如果这样分析这个问题，就会发现一件很有意思的事情：不是所有的点和边构成的图都能一次走完。

我们看一个能一次走完的例子。

这样一个图，假如我把这个桥，从AB之间改到CD之间，就能一次走完。

我们仔细来看一看，在整个过程当中，肯定要过B点，一定是先从某一个桥走到B点，然后再从B走另一个桥离开。所以每次到B这个位置，一定是到了之后马上就走，所有其他的岛屿也都是上去之后马上就走。你上去之后马上就走，可以把上去和离开的两个桥标为同一个颜色，可以消掉。

这样就告诉你，B这个点连接的桥一定是偶数，因为你每次一上一下，一定需要两座桥，所以连接B的桥数一定是2的倍数，它一定是偶数。连接C的是偶数，连接D地是偶数，连接A的也是偶数，都是偶数。

所以欧拉就说，如果你想要把所有的这些边全部都走一遍，每一个岛或者每一个岸，一定都建了偶数座桥。

而在哥尼斯堡这个问题上，每一个岛和每一个岸都建了奇数座桥，所以到这里，欧拉就直接说不可能了。

这就是数学的力量。我做不到，但我可以说，这个世界上谁都做不到，天才都做不到，你如果不服，问我为什么做不到，我就告诉你，因为奇数一定不行。这是一个非常通用的判断方法，无论是什么样的图，我只需要数一数，就能给出答案。

比如这个图，好复杂呀，我能不能一笔全部画完呢？

你不需要真的去画，欧拉已经告诉你，只要会数数就行了，你只需要数一下每个点有几座桥，如果全是偶数，就一定可以。这个问题叫作一笔画问题。我相信很多学过奥数的小朋友或成年人之前接触过这个问题。

但是如果说你记住了这个结论，然后就陶醉地用这个结论做题，在自己的同学面前装，说：“你知道吗，我知道这个肯定可以，那个肯定不行，不信你试试”，然后乐滋滋地看自己同学在那试一节课，怎么都画不出来，那么，你又离真正的数学远了，你又变成了一个像计算乘法、列竖式、解方程一样的机器了。因为在这个过程当中，你又变成了应用已经知道答案的规则，而不是在一个问题当中去探索这个知识本身。

这就是数学的力量，我们知道连边是偶数，一定就能一笔画。

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玩数学

我想带大家去学习怎么玩数学。有人说，数学这个让人难受的东西，还能玩吗？可以玩。

比如，刚刚说的一个逻辑是，想要一笔画，就得连边是偶数，那如果反过来，是不是连边是偶数，就一定可以一笔画呢？正向得到了结论，反过来想它成不成立，就是数学里非常重要的逆向思维。

这个问题的答案是不一定。例子非常简单，有这样一个图，每个点都连着偶数条边，但是这个图不可能一笔画完。

这就告诉你，除了连边是偶数，还有一件事情，就是得连着，不能是几块。这就是反过来想就会发现，这个问题还需要更多的条件。这个时候你就真的是在玩数学了，你就真的是在体会这个问题本身的结构了。

我再给大家示例一下，一个玩数学的人还会怎么想。刚才我们是要走一个圈，起点和终点要重合，那如果不要求起点和终点重合，只要求你把每个桥都刚好过一次，需要的条件又是什么呢？

这时候我们就允许有奇数了。比如说，C和D都连着三座桥，这是奇数，它不满足全都是偶数的条件，但这个图是可以一笔画出来的。

这个就是数学的另外一点，就是你再去把问题的条件拆掉一些，把这个问题加强一些，看看能不能得到更深刻的结论。

我们再考虑一下上桥和下桥的过程。所有的点现在只有两种，第一种是起点或者终点，第二种是在中间的点，比如说B。B和A这两个地方跟刚才一样，上去马上就得下来，所以对于B和A来说，它的桥都是可以一一消除的。你把所有这些桥全部消掉后，会发现还剩两个箭头，就是离开起点的那一个，和最后进入终点的那一个。

想一下，一条路只可能有几个起点，几个终点？这就告诉我们，除了起点和终点允许有一座多余的桥之外，其他的地方都必须上去之后马上下来，所以桥的数量是偶数。这个问题就变成了，除了起点和终点这两个点允许是奇数之外，其他的都是偶数。

这其实就是著名的欧拉回路问题。大家在小学、初中和高中都不会学到它，直到大学才会学到它，这是大学计算机专业离散数学当中研究的问题。但其实你会发现，我这样讲完，这个问题也蛮简单的，就是奇数和偶数的区别。

但是，对于学生来说，真正难的是，知道这个世界上除了他们每天学习的这种数学，还有那样的数学存在。

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经过改造的数学

大家平时每天算竖式，其实都是在名义上学数学、做数学，而实际上是和农民差不多。

你们见过农民插秧吗？我小的时候是在农村长大的，插过秧，也割过麦。插秧就是这样一个过程，每一步都非常固定，在你的腰间会别着一堆秧，你拿出来，弯腰，插进去，起来，退一步，这个过程完全固定，你像一个机械一样，不断地重复一个过程，在这个过程当中，不可能有任何意外的事情发生。

各位，你们有可能在算数的时候，突然出现某一个乘法，两个数字乘在一块，老师从来没有说过该怎么做，或者说乘出了一个这个宇宙都无法理解的情况吗？不可能。

在这个过程当中，你们面对的，其实一直是没有灵魂的数字。这些问题就是一个指令，你变成了一个机器，在运算这些指令而已。

在这个过程当中，你会觉得，数学就是这样。所以我们从小到大学习的数学，其实是一种非常有特色的数学，是一种经过我们的教育改造过的、特别的数学。它有些特点，刚才说的就是第一个特点，极其强调计算，大家从小学到初中学的全是算学，而不是数学。

稍有变化的题，就体现了第二个特色，叫作模型和套路，大家到初中就会见到，有一线三等角模型，三垂直模型，手拉手模型……到高中，你会学到二级结论，只要用这个就可以秒杀选B，刷到过这样的教辅机构、老师的视频吧，天天用这样的套路，说这里有什么秘诀，学到它，别人只能考90，你能考99。有些机构就由此赚钱。

第三个特色，这里我想先引用一下单墫老师说的话，单墫是中国数学教育界的老前辈了，他说👇

第三个特色就是超前刁难。其实我们在中学和小学学习的内容，是数学体系当中非常小的一部分，数学中有一大块真正值得学习的东西，其实是没有覆盖到的。为了在这种很有限的范围中考出区分度，考出三六九等，让有些人能考上清华北大，考上985、211，怎么办，就要硬出一些很难的题。你在课本上根本学不到这些题该怎么做。

比如，这是当年一个八省联考的题目，它考的是大学密码学的内容，我到大三才学到。右边这个是今年北京西城区一模数学考试题，它考的是代数几何，这是顶尖的数学研究生才研究的东西，但是我们把它出成了一道考试题，目的就是让能做出来的人上最好的学校。

你想想看，如果大家天天接触的都是这种数学，当然会觉得数学是一种人类精神的虐待。所以，这就是我做“漫士沉思录”的初衷。我想告诉大家，其实数学不是这样的，数学另有一些非常有意思的存在。

但是，在我的老家，一个三四线小城市，还有那些高考大省，这些学生每天都在埋头经历什么样的事情呢？举个例子，这是我一次初中考试的题目，算阴影面积。我们平时算的都很简单，因为它看起来就像个平行四边形，只需要用底乘高，算出来就是10，非常简单。

但是那次考试中，老师把阴影点错了，他直接点了整个空白区域，于是那次考试中这个阴影区域变成了这样。

中学生可能会觉得，这不就是多了一块吗？但是上过大学的家长应该知道，计算这个要用微积分，应该是大一才会学的知识点。

当时所有同学都蒙了，但是我很开心，我说这次老师终于考了一点课本上没有的东西了，然后我就在考场上硬做。我把它分成N份，这个你们现在不需要看懂，大概知道我当年有多牛就可以了。

我去算这个求和，在N很大的时候，我算出来了这个面积是2/3，所以两块就是4/3，再加上原来的10。我非常得意地把这个答案交了上去，最后老师给了我一个叉。

老师说，所有人一眼就知道，这个题目出错了，就你还在那认认真真地算这个玩意儿的面积，你不是闲的吗。老师还给了我一句话，答案就是10，就你聪明，就是这个高考不考。

大家之后也会听到很多这样的话，比如不要看这个，都是浪费时间，比如有空多看自己的错题吧，你现在成绩还差得远。哪怕是我在考场上用20分钟，自己摸索了微积分，老师也只会给我一个叉。

这种感觉像什么，我后来才知道，有一个心理学名词，叫作跳蚤效应。就是科学家把一堆跳蚤放进了一个罐子里，跳蚤很能跳，它会跳到这个罐子的外面，然后科学家就拿盖子把这个罐子上面封住了，然后跳蚤跳到上面就会被挡住。就这样关了整整三天，再把盖子打开，这些跳蚤明明是可以跳出这个罐子的，但也不会跳到高于这个罐顶的高度。

你有没有想过，这个罐子的盖子就是高考考纲，这里头的跳蚤就是我们。而我想要去想一些在考纲之外的内容，头就重重地撞到了上面的盖子，等大家高考结束，进入大学，这个罐子上面的盖子打开了，但很多学生依然不会跳到比这个罐子更高的地方了。

哪怕在清华和北大，我也见过很多的同学，走上科研之路后，依然在以做题的思维去处理问题。他们依然不自信，也从来没有想过，哪一天自己可以想到一个全新的、课本上都没有的东西，去探索自己可能的知识，发现全新的东西。

很多人抱怨，中国的科研亦步亦趋，其实在中小学就早有预兆。这种情况在我老家那样的三四线小城市，在山河四省，在那些人口特别稠密、考试压力特别大的地方更加严重。

中国有几千万甚至上亿的学生，他们整个世界的数学就是这样的数学，就是天天算数列、算几何、算导数。他们小小年纪就觉得数学是一件令人感到恐怖、让人非常不舒服的东西。所以我要做这个账号，我想让大家知道，什么是真正有意思的数学，什么是真正的数学和科学思维。

很多人都会批评说，我们的考试是一个为了选拔，为了筛选，为了划分三六九等必须存在的东西，考试是为了公平。但是，其实考试的信息密度很低。我们中小学学习了12年的数学知识，放到大学可能就是一个学期的课。但是那些考试题却出得花样繁多，想得高分就很辛苦。

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经过改造的数学

大家最有精力的青少年时期，就在这个过程中消磨。而且你独立探索的过程会被打击，你会失去勇气和想象力。所以我希望大家要保持野性，保持想象力。

怎么保持呢？这就是我自己账号经常做的事情。我可以给大家看一看我之前做过的一些东西。比如说，1/89这个分数很有意思，如果把它小数部分写出来，是0.011235……把它拆开会发现，这一个小数的小数位里包含了整个斐波那契数列。为什么一个分数能包含斐波那契数列？

再比如说，为什么水偏偏在0度的时候结冰？为什么它低一度就会变成冰，高一度就会变成水，为什么那么准确，就是0度呢？这里是有数学规律的。

再比如说，大家可能都玩过绳结。怎么用数学判断出一个绳结是能完全解开的，还是不能解开的？

再比如说，罗马花椰菜，它非常有意思，每一个罗马花椰菜上的花球都具有自相似性，这是自然界非常显著，而且非常引人入胜的分形，这个分形是怎么长出来的呢？

再比如说，这个世界里有很多螺旋都符合黄金分割比，为什么这个世界到处都是黄金分割比呢？这些就是我的账号经常讲的事情。

今天我给大家带来一个之前我在视频里从来没有讲过的全新内容，就是魔方。请你随便拿一个魔方，哪一个面朝上都行，然后把右边往上拧，这算拧1次，再把上面往左拧，这算2次，再把右边往上拧，这是第3次，再把上面往左拧，这是第4次。

就这样重复，右边往上，上面往左，右边往上，上面往左，一直重复210次。你知道会发生什么吗？很神奇，这个魔方看起来会越转越乱，越转越乱，但是在整整210次之后，这个魔方却会奇迹一般地复原。这是怎么回事呢？

首先，这个现象不只局限于魔方。比如说左边，这里有一堆方块，我每次把它顺时针旋转90度，然后所有的方块因为重力下落。

右边是洗牌，每次把牌分成两摞，你一张我一张这样交替在一起。

这些过程，从一个已经非常标准的状态出发，经历过若干次之后，都一定会回到最初的标准状态。比如说左边，转动16次，又回到了蓝红绿各一行的状态。也就是说，其实这里有很多不同的东西，但它们都有一个共同的特点，就是如果以一个相同的方式不断地打乱它，它到最后一定会回来。

这是为什么呢？本质上我是反复做一件事，就是把一个魔方右边往上，上面往左，这会把一个魔方变成一个新的魔方。

大家有没有注意到，这个过程也是可以反过来的。也就是说，我从最后一个魔方开始，先把上面往右，它就会回到中间，再把右边往下，它又会回到一开始的状态。

所以说，在我们的操作里，一次右边往上，上面往左，魔方就会变一下，这个变的过程，就像魔方在世界探险，你可以想象，每个魔方的状态，就像一个城市，你每做一个操作，它就会从一个城市到另一个城市。

这里我们先讨论一下，这个变换会有什么样的特点。你们觉得同一个魔方，做了同一个操作之后，会有两种不同的可能吗？不可能吧？一个魔方用固定的方式操作，只可能有一种结果，所以这个旅游，每一趟都有一个唯一的目的地。

那我现在再问一下大家，你们觉得有没有可能，会有两个不同的魔方，做了相同的操作之后，变成同一个魔方？不可能。

因为刚才我说过，整个操作是可以倒回来的。从这个魔方开始，我如果做你刚才的操作倒回来，一定也是有一个唯一的结果的，所以不可能有两个城市，都前往同一个目的地，一个城市不会去往两个目的地，两个城市也不会去往同一个目的地。

重点来了，我们刚才所做的，不断重复的过程，就是从一个已经还原好

的魔方出发，先让他到第一个城市旅游，再往前第二个城市，再往前到第三个城市，再往前到第四个城市，一直往下。这个旅游会没有终点吗？这个旅游会不会无限进行下去，走到无限多个城市？不可能，因为魔方一共只有有限多种状态，所以一定在某一个时候，它得回家，转完之后会变成一个你之前见过的样子。

我现在请问，这个见过的样子，有可能是路途中间的某一个地方吗？

不能。为什么不能？为什么回家不能回到这个路程中间的位置？大家注意看这3个魔方，这就是我刚才说的，不可能有两个魔方，做相同的操作，变成同一个魔方。

也就意味着，这个魔方首先它必须回家，但是它不能回已经有人走过的地方，它只能把这个环闭上。

所以这就告诉我们，当你用相同的操作，不断往前打转的时候，它一定能够回来。这就是数学的力量，我不用具体地去做，只需要用逻辑就可以知道，它一定会回来。

你会发现魔方在这个地方没有任何特殊性。我可以把魔方换成刚才的方块，也是一样，每做一个操作，方块就会变成一个新的方块，这些方块不会无限重复，所以它一定也会打转，回到最开始的状态。

这些是各种各样不同的东西，但它们都有一个共同的逻辑和结构。

有一个数学家，叫亨利·庞加莱，他在这个基础上更进一步，他在想，整个宇宙有没有可能也是一个巨大的魔方？整个宇宙在物理规律下不断地演变，是不是正如我们，在用一个相同的操作，不断地改变着这个魔方，看起来它在越来越乱，但有没有可能有一天，它会回到整个宇宙一开始的状态？

这就是从一个简单的魔方数学游戏里，看到了整个宇宙的可能性。庞加莱把它称作庞加莱回归。庞加莱对于数学有一句非常精到的话，我觉得这是对于数学是什么的一个非常好的解答，那就是：数学，就是给不同的事物起相同名字的艺术。

就像我们刚才看到的魔方也好，方块也好，洗牌也好，它们是不同的事物，但它们都有一个共同的转圈的结构，这个在大学里会学到，叫抽象代数群论。其实它完全没有听起来这么可怕，就是这样的一个转圈的结构而已。

最后，我想给大家一句寄语：真正的数学，不是重复去做那个你早就已经会做的事情，而是在陌生当中发现结构，在混乱当中看见秩序，在不同的事物之间，认出它们共同的灵魂。

“漫士沉思录，学海引路不辛苦”。谢谢大家。